Corrigé Mathématiques – Relation d'Ordre, PGCD, Inverse Modulo, Systèmes Linéaires

1. RELATION D'ORDRE – DIAGRAMME DE HASSE (2 pts)

Question 1° : Donner Div_n, l'ensemble des diviseurs de n = 36.

Méthode : Décomposer 36 en facteurs premiers.

Calcul :

36 = 2² × 3².

Les diviseurs sont tous les produits possibles de ces facteurs :

Div₃₆ = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}

Question 2° : Dessiner le diagramme de Hasse de l'ensemble Div_n pour la relation d'ordre « divise » pour n = 36.

Méthode : Relier chaque diviseur à ses multiples directs (sans passer par un intermédiaire).

        36
      /    \
    18      12
   /  \    /  \
  9    6  4    \
   \  /  / \    2
     3    1
    

2. PGCD – PPCM – ALGORITHME D'EUCLIDE (3 pts)

Question 1° : Calculer par l'algorithme d'Euclide, le PGCD de chacun de ces couples.

Calculs détaillés :

Couple 1 : PGCD(32, 6)
32 = 6 × 5 + 2
6 = 2 × 3 + 0
PGCD = 2

Couple 2 : PGCD(48, 5)
48 = 5 × 9 + 3
5 = 3 × 1 + 2
3 = 2 × 1 + 1
2 = 1 × 2 + 0
PGCD = 1
    

Question 2° : Quels sont les couples de nombres premiers entre eux ?

Les couples où le PGCD = 1 sont :

• Couple 2 (48, 5)
• Couple 5 (149, 21)

Question 3° : Déduire de la question 1°, le PPCM des couples 1 et 2.

Formule : PPCM(a, b) = (a × b) / PGCD(a, b)

Couple 1 (32, 6) :
PPCM(32, 6) = (32 × 6) / 2 = 96

Couple 2 (48, 5) :
PPCM(48, 5) = (48 × 5) / 1 = 240
    

3. INVERSE MODULO (4 pts)

Question 1° : Rappeler la définition de l'inverse de e modulo p.

L'inverse de e modulo p est un entier d tel que :

e × d ≡ 1 (mod p)

Il existe si et seulement si PGCD(e, p) = 1.

Question 2° : Calculer d, l'inverse de e modulo p pour les e et p précédents par l'algorithme d'Euclide étendu.

Calculs détaillés :

Cas 1 : e = 21, p = 149
149 = 21 × 7 + 2
21 = 2 × 10 + 1
2 = 1 × 2 + 0
Remontée :
1 = 21 - 2 × 10
1 = 21 - (149 - 21 × 7) × 10
1 = 21 × 71 - 149 × 10
Inverse : d₁ = 71
    

4. SYSTÈME D'ÉQUATIONS LINÉAIRES – ALGORITHME DE GAUSS-JORDAN (2 pts)

Question 1° : Résoudre ce système en utilisant l'algorithme de Gauss-Jordan.

Système linéaire :

3x₁ + 2x₂ + x₃ = 10
x₁ + 2x₂ + 3x₃ = 14
2x₁ + x₂ + 3x₃ = 13
    

Matrice augmentée :

[ 3  2  1 | 10 ]
[ 1  2  3 | 14 ]
[ 2  1  3 | 13 ]
    

Étapes :

1. Permuter L1 et L2 :
[ 1  2  3 | 14 ]
[ 3  2  1 | 10 ]
[ 2  1  3 | 13 ]

2. Éliminer x₁ des autres lignes :
[ 1  2  3 | 14 ]
[ 0 -4 -8 | -32 ]
[ 0 -3 -3 | -15 ]

3. Diviser L2 par -4 :
[ 1  2  3 | 14 ]
[ 0  1  2 |  8 ]
[ 0 -3 -3 | -15 ]

4. Éliminer x₂ des autres lignes :
[ 1  0 -1 | -2 ]
[ 0  1  2 |  8 ]
[ 0  0  3 |  9 ]

5. Diviser L3 par 3 :
[ 1  0 -1 | -2 ]
[ 0  1  2 |  8 ]
[ 0  0  1 |  3 ]

6. Éliminer x₃ des autres lignes :
[ 1  0  0 |  1 ]
[ 0  1  0 |  2 ]
[ 0  0  1 |  3 ]
    

Solution : x₁ = 1, x₂ = 2, x₃ = 3.

Question 2° : Vérifier la solution obtenue en la reportant dans le système.

Vérification :

3(1) + 2(2) + 1(3) = 10 ✓
1(1) + 2(2) + 3(3) = 14 ✓
2(1) + 1(2) + 3(3) = 13 ✓
    

Résumé des Concepts Clés

Conseils pour l'Examen

Document préparé pour Maëlle Miquey – Personnel