📘 Fiche de révision – Matrices et vecteurs

1️⃣ Addition de deux matrices

Deux matrices peuvent être additionnées si elles ont la même dimension.

A + B = (aᵢⱼ + bᵢⱼ)

Exemple

A = |1 2|    B = |3 4|
    |5 6|        |7 8|
A + B = |4 6|
      |12 14|

2️⃣ Produit scalaire de deux vecteurs

Le produit scalaire se calcule entre deux vecteurs de même dimension.

u · v = x₁y₁ + x₂y₂ + ... + xₙyₙ

Exemple

u = (1 ; 2 ; 3)
v = (4 ; −1 ; 2)
u · v = 1×4 + 2×(−1) + 3×2 = 8

3️⃣ Produit de deux matrices

Le produit A × B est possible si :

A(m×p) et B(p×n)

Exemple

A = |1 2|
    |3 4|
B = |5|
    |6|
A × B = |1×5 + 2×6| = |17|
        |3×5 + 4×6| = |39|

4️⃣ Cas particuliers

Produit vecteur – matrice

Pour multiplier un vecteur ligne par une matrice, le nombre de colonnes du vecteur doit correspondre au nombre de lignes de la matrice.

Exemple :

u = (1 2)
A = |3 4|
    |5 6|
u × A = (1×3 + 2×5 1×4 + 2×6) = (13 16)

Remarque : Si le vecteur est une colonne, il doit être placé à droite de la matrice.

Matrice diagonale

D = |2 0 0|
|0 3 0|
|0 0 1|

Seulement des valeurs sur la diagonale.

5️⃣ Matrice inverse

Une matrice A est inversible si son déterminant est différent de zéro.

det(A) ≠ 0

Exemple pour une matrice 2×2

A = |1 2|
    |3 4|

Calcul du déterminant : det(A) = (1×4) − (2×3) = −2 ≠ 0 ⇒ A est inversible.

A⁻¹ = 1/(−2) × |4 −2 | = |−2 1 |
               |−3 1 |   |1.5 −0.5|

Vérification : A × A⁻¹ = I (matrice identité)

6️⃣ Matrice transposée

Aᵀ : lignes ↔ colonnes

Exemple

A = |1 2 3|
    |4 5 6|
Aᵀ = |1 4|
     |2 5|
     |3 6|

7️⃣ Matrice symétrique

Une matrice est symétrique si :

A = Aᵀ

Exemple

|2 3|
|3 1|

8️⃣ Abus de notation

Multiplication par un scalaire

2A = |2aᵢⱼ|

Matrice identité

I = |1 0|
    |0 1|

A × I = I × A = A