📘 Fiche de révision – Suites et séries

1️⃣ Définition d’une suite

Une suite numérique est une liste ordonnée de nombres :

u₀, u₁, u₂, … , uₙ

2️⃣ Suite arithmétique

u₀ donné
uₙ₊₁ = uₙ + r
Terme général : uₙ = u₀ + n × r
Somme : Sₙ = (n + 1)(u₀ + uₙ) / 2

Limite

3️⃣ Suite géométrique

Une suite géométrique est définie par :

u₀ ≠ 0
uₙ₊₁ = q × uₙ

Terme général :

uₙ = u₀ × qⁿ

Somme des termes :

Sₙ = u₀ × (1 − qⁿ⁺¹) / (1 − q)   (si q ≠ 1)

📈 Limite d’une suite géométrique

🧠 Exemple : démonstration par récurrence

Soit la suite définie par :

u₀ = 1
uₙ₊₁ = 2 × uₙ

Montrer que :

uₙ = 2ⁿ

Initialisation :

u₀ = 1 = 2⁰

La propriété est vraie au rang 0.

Hérédité :

On suppose que uₙ = 2ⁿ.

uₙ₊₁ = 2 × uₙ = 2 × 2ⁿ = 2ⁿ⁺¹

Conclusion : par récurrence, uₙ = 2ⁿ pour tout n ∈ ℕ.